定理 1 · I-投影 / 最大熵唯一性
给定基准赔付分布 \(p\)、单位投注回报向量 \(v\)，欲将 RTP 从 \(R_0=\mathbb{E}_p[v]\) 调整到 \(R\)。
在所有满足 \(\mathbb{E}_q[v]=R\) 的分布 \(q\) 中，最小化 \(D(q\Vert p)\) 的解唯一，且必为指数族倾斜：
$$q_j(\beta)=\frac{p_j e^{\beta v_j}}{Z(\beta)},\qquad Z(\beta)=\sum_j p_j e^{\beta v_j}$$
且 \(R(\beta)=\frac{d}{d\beta}\ln Z(\beta)=\mathbb{E}_{q}[v]\)，\(R'(\beta)=\mathrm{Var}_{q}(v)>0\)。
故 \(\beta\mapsto R\) 严格单调递增，对任意 \(R\in(\min v,\max v)\) 存在唯一 \(\beta\)。
为什么这条定理是整个体系的地基：它说明"如何调 RTP"根本不是设计选择题 —— 一旦你要求"调整后最难被统计检验发现"，
数学就只留下一条路：指数倾斜。任何手写的"概率微调表"都严格劣于它（KL 更大 ⇒ 更容易被抓）。
定理 2 · 成本 = 大偏差率函数，检测边界 = Chernoff–Stein
$$I(R)=D(q_\beta\Vert p)=\beta R-\ln Z(\beta),\qquad I'(R)=\beta,\qquad I''(R)=\frac{1}{\mathrm{Var}_q(v)}$$
$$I(R)\approx\frac{(R-R_0)^2}{2\sigma^2}\ \ \text{(二阶)},\qquad N_{\det}=\frac{\ln(1/\varepsilon)}{I(R)}$$
\(N_{\det}\) 是可检测局数下界：若审计方样本量 \(n调控权限被方差物理定价：\(\sigma\) 越大，同幅度调整越"廉价"。
这不是运营话术，是 Chernoff–Stein 引理。
工程落点：控制器的输出限幅取 \(|u_t|\le \kappa\sigma/\sqrt{n}\)。
也就是说，调控权限不是人设定的，而是由样本量和方差自动锁死的。运营想多调，数学不允许。
倾斜实验台 选游戏 · 拖 RTP · 看概率质量如何迁移
可观测性门槛
把 RTP 钉在 ±0.5pp（95% 置信）所需局数 \(n^*=(z\sigma/h)^2\)。这是"真实 RTP 不可观测区"的宽度。
高波动游戏的 RTP 在数百万局之前在统计上不存在。这既是调控空间，也是庄家的资本风险来源 —— 同一枚硬币的两面。
破产闭式解 vs 蒙特卡洛
双吸收壁 + Wald 恒等式 ⇒ \(\mathbb{E}[\mathrm{GGR}]=B-P_{\text{win}}T\)。模拟必须逼近它。
$$P_{\text{win}}=\frac{1-e^{\theta B}}{1-e^{\theta T}},\ \theta=\frac{2hb}{\sigma^2b^2};\quad \mathbb{E}[\tau]=\frac{B-P_{\text{win}}T}{hb}$$
定理 3 · 等倾斜原理（KKT）全局 RTP 目标如何最优地拆到 7 款游戏
求解 \(\min_{R_i}\sum_i N_i I_i(R_i)\) s.t. \(\sum_i w_i R_i = R^*\)。由 \(I_i'(R_i)=\beta_i\) 与 \(N_i\propto w_i\)，
KKT 一阶条件给出 \(\beta_i=\beta^*\ \forall i\) —— 全平台共享唯一的"RTP 影子价格"。
局部含义：\(\Delta R_i\approx\beta^*\mathrm{Var}_i\)，调整量按方差分配。